Carrelage hexagonal

Un artisan commence la pose d'un carrelage dans une grande pièce. Le carrelage choisi a une forme hexagonale.

L'artisan pose un premier carreau au centre de la pièce puis procède en étapes successives de la façon suivante :

• à l'étape 1, il entoure le carreau central à l'aide de \(6\)  carreaux et obtient une première forme ;
  
• à l'étape 2 et aux étapes suivantes, il continue ainsi la pose en entourant de carreaux la forme précédemment construite.
  

On note \(u_n\)  le nombre de carreaux ajoutés par l'artisan pour faire la \(n\) -ième étape ( \(n \geqslant 1\) ).
Ainsi \(u_1 = 6\)  et \(u_2 = 12\) .

1. Quelle est la valeur de \(u_3\)  ?

2. On admet que la suite \(\left(u_n\right)\)  est arithmétique de raison \(6\) . Exprimer \(u_n\)  en fonction de \(n\) .

3. Combien l'artisan a-t-il ajouté de carreaux pour faire l'étape \(5\)  ? Combien a-t-il alors posé de carreaux au total lorsqu'il termine l'étape \(5\)  (en comptant le carreau central initial) ?

4. On pose \(S_n = u_1 + u_2 + \ldots + u_n\) . Montrer que \(S_n = 6(1 + 2 + 3 + \ldots + n)\)  puis que \(S_n = 3n^2 + 3n\) .

5. Si on compte le premier carreau central, le nombre total de carreaux posés par l'artisan depuis le début, lorsqu'il termine la \(n\) -ième étape, est donc \(3n^2 + 3n + 1\) .
À la fin de sa semaine, l'artisan termine la pose du carrelage en collant son \(2\,977^\text{e}\)  carreau. Combien a-t-il fait d'étapes ?